1 Preparations (준비작업)
- 1.1 Libraries
2 시계열 모형 소개
3 AR 모형
- 3.1 AR(1)일 때
- 3.2 AR(2)일 때
4 MA 모형
- 4.1 MA(1)일 때
5 ARMA 모형
- 5.1 ARMA(1, 1)일 때
6 AR, MA, ARMA 정리
7 ARIMA
8 모형 적합 절차
9 Arima 실습
10 SARIMA
11 SARIMA 실습
12 Time series regression
- 12.1 회귀분석 개요
- 12.2 모형 가정 확인
13 Time series regression 실습
14 계절 추세 ARMA 오차 회귀모형
15 시계열 그래프 그리는 방법
16 Practice
17 ARIMA
18 SARIMA
19 회귀모형을 이용한 시계열분석

1 Preparations (준비작업)

1.1 Libraries

library(data.table)
library(tidyverse)
library(forecast)
 
theme_set(theme_bw())

2 시계열 모형 소개

2.1 시계열 모형 종류

AR
MA
ARMA
ARIMA
SARIMA
Time series regression

기출문제 확인 결과 ARIMA, SARIMA, Time series regression이 나옴.

데이터는 시계열 예제 데이터 수준이므로 분석 프로세스만 숙지하고 있으면 됨

2.2 시계열 기본 가정

백색잡음과정

서로 독립이고 동일한 분포를 따르는(i.i.d) 확률변수로 구성된 확률과정

뚜렷한 추세가 없음
시계열의 진폭이 일정함

이 형태 혹은 비슷한 형태를 띄어야 정상 시계열로 인식함

기본 가정이라고 생각하면 되고, 정상 시계열 형태가 아닐 경우 변환을 통해 정상 시계열로 만들어줘야함

확률보행과정

평균은 일정하지만 분산과 자기공분산은 t 시점에 의존

뚜렷한 추세가 존재함
진폭이 불규칙적

비정상 시계열의 대표적인 예시로 적절한 변환을 통해 정상 시계열로 만들어줘야함

2.3 모형 인식 방법

ACF(자기상관함수)

시계열 자료 특성상 현재의 상태가 과거 및 미래의 상태와 연관되므로 시간에 따른 상관 정도를 측정하는 척도가 필요함

\[ \rho_k = \frac{cov(Z_t, Z_t+k)}{\sqrt{var(Z_k)}\sqrt{var(Z_{t+k})}} \]

Sample correlogram(표본상관도표)

X축을 시차, Y축을 표본 ACF로 표현한 그림으로 모델 인식 절차에 사용됨.

acf() 함수로 작성 가능
\(\rho_k = 0\)이면 표본 ACF는 점근적으로 평균은 0, 분산은 \(\frac{1}{n}\)인 정규분포를 따르며, 이 성질에 따라 신뢰구간이 점선으로 추가됨
표본 ACF가 점선을 벗어나 있으면 \(H_0 : \rho_k = 0, \quad k=1,2,3,\cdots\)을 기각할 수 있음
각 시점에 대해 검정하므로 다중검정의 고질적 문제인 일종 오류가 증가하는 문제가 발생함
따라서 엄격한 검정 보다는 참고자료로 이용

PACF(부분자기상관함수)

\(Z_t\)와 \(Z_{t+k}\) 사이의 직접적인 연관성을 측정하는 함수 \(Z_t, Z_{t+1}, \cdots, Z_k\)가 주어졌을 때 \(Z_t\)와 \(Z_{t+k}\)에서 \(Z_{t+1}, \cdots, Z_{t+k-1}\)의 효과를 제거한 후 상관관계를 측정함

Sample partial correlogram(표본부분상관도표)

X축을 시차, Y축을 표본 PACF로 표현한 그림으로 모델 인식 절차에 사용됨.

pacf() 함수로 작성 가능
문제점 ACF와 동일
따라서 엄격한 검정 보다는 참고자료로 이용

ACF, PACF 그래프 이용해서 모형을 인식함. 따라서 그래프를 정확히 해석하는 것이 중요함

3 AR 모형

3.1 AR(1)일 때

ACF 지수적 감소
PACF 1차 시점 이후 절단(1차 시점은 자기 자신이므로 상관관계는 1, 따라서 고려 X)

이론적 그림이므로 비슷한 형태를 띄면 절단이라고 인식함. 그래프를 이용한 해석은 주관적이므로 정확한 정답은 없음. 다만 딱 봐도 절단이면 절단이라고 인식할 수 있어야 함

3.2 AR(2)일 때

ACF 지수적 감소
PACF 2차 시점 이후 절단

AR(p) 차 시점 그림 또한 ACF 지수적 감소, PACF p차 시점 이후 절단으로 동일함

4 MA 모형

4.1 MA(1)일 때

ACF 1차 시점 이후 절단
PACF 지수적 감소

AR모형과 ACF, PACF 그림만 반대이고, 모형 인식 방법은 동일함

5 ARMA 모형

AR 모형과 MA모형을 합친 형태로, AR의 p와 MA의 q를 파라미터로 갖는 모형임

5.1 ARMA(1, 1)일 때

ACF: AR(1)모형의 영향으로 지수적 감소
PACF: MA(1)모형의 영향으로 지수적 감소

그림을 추가하진 않았지만 AR, MA 모형의 지수적 감소 형태와 동일함

6 AR, MA, ARMA 정리

Model	ACF	PACF
MA(q)	q 시차 이후 0으로 절단	지수적으로 감소
AR(p)	지수적으로 감소	p시차 이후 0으로 절단
ARMA(p, q)	지수적으로 감소	지수적으로 감소

7 ARIMA

7.1 비정상 시계열 특징

추세가 존재
계절성 존재
분산이 시간대에 따라 변함

실제 자료에서 정상성을 만족하는 경우는 거의 없으므로 변환을 통해 정상시계열로 만들어줘야함

7.2 비정상 시계열 정상화 방법

분산이 일정하지 않은 경우 : 분산안정화 변환 실시

분산 증가 : 로그변환, 제곱근 변환
분산 감소 : 지수변환, 제곱 변환

분산이 증가할 때

분산안정화 변환 실시

추세가 존재하는 경우 : 차분 실시

추세만 보고 명확하지 않을 수 있으므로, ACF 그래프도 같이 확인 필요
1차 차분으로 정상성을 만족하지 않을 경우 2차 차분까지 실시
3차 차분은 거의 하지 않으므로 고려 X
계절 효과가 존재하는 경우 계절형 차분 실시

추세가 존재하는 경우

1차 차분 실시

7.3 ARIMA(p, d, q)

ARMA 모형에 차분(d)이 추가된 모형임

추세가 있으면 차분 실시
ACF가 천천히 감소하면 차분 실시
과대차분을 통해 차분 차수 결정, ndiffs를 이용해도 됨
ndiffs(x, alpha = 0.05, test = c(‘kpss’, ‘adf’, ‘pp’) ): 일반 차분 차수 추정
- x : 시계열 자료
- alpha : 유의 수준
- test = “kpss” : 귀무가설 - 정상시계열, 대립가설 - 비정상시계열
- test = “adf” : 귀무가설 - 비정상시계열, 대립가설 - 정상시계열
- test = “pp” : 귀무가설 - 비정상시계열, 대립가설 - 정상시계열
차분을 통해 정상시계열로 만들어준 후 차수 결정
d차 차분된 자료의 ACF, PACF로 차수 결정(AR, MA, ARMA 차수 결정방법과 동일)

7.4 Example

데이터 생성 ARIMA(1, 1, 0)에서 난수 발생

set.seed(123)
z <- arima.sim(model = list(order = c(1, 1, 0), ar = 0.5), n = 1000)
plot(z)

1차 차분

ARIMA(1, 1, 0)으로 식별

ndiffs(z)

## [1] 1

z_dif <- diff(z)
plot(z_dif)

acf(z_dif)

pacf(z_dif)

forecast::ggtsdisplay(z_dif)

과대 차분했을 경우 정상성은 만족하지만 AR(1)모형 보다는 더 복잡한 모형으로 인식함. 모수 간결의 원칙에 따라 과대차분 모형 제외

z_diff <- diff(z, d = 2)
plot(z_diff)

acf(z_diff)

pacf(z_diff)

forecast::ggtsdisplay(z_diff)

8 모형 적합 절차

8.1 시계열 그림, SACF 작성

시계열 정상화 단계
등분산 확인 및 필요시 변환
최적의 차분 차수 결정
- ACF 형태, 단위근 검정 결과로 판단
- 과대차분 여부 확인

8.2 ARIMA 모형 차수 p, q 결정

SACF를 절단으로 인식 : MA 모형
SPACF를 절단으로 인식: AR 모형
SACF, SPACF 모두 감소로 인식 : ARMA 모형
ARMA 모형 중 AIC, BIC가 최소가 되는 모형 선택

8.3 절편 포함 여부 결정

arima() 함수의 경우 차분을 실시한 자료에 대한 절편 포함 여부 검정 x
forecast 패키지, Arima()를 이용
Arima(x, order = c(0, 0, 0), include.drift = F, fixed = Null)
- x : 시계열 자료
- order = c(0, 0, 0) : Arima(p, d, q) 차수 결정
- include.drift : d=1의 자료에 대하여 절편 포함 여부
- fixed : 비유의적 모수 제거

8.4 모수 추정

조건부 최소제곱 추정법
비조건부 최소제곱 추정법
최대가능도 추정법

대부분의 경우 추정 결과에 차이 X, 패키지 이용할 것이므로 고려 X

8.5 모형 진단

모형 식별과 모수 추정을 통해 얻어진 잠정 모형의 타당성 여부 판단
잔차분석
- 오차항이 백색잡음과정을 따르는지 확인
과대적합
- 잠정모형에 모수를 추가한 모형의 유의성을 확인하는 분석 진행
- 잠정모형이 적절한 모형이라면 추가된 모수들은 유의하지 않게 나올 것이기 때문
- 잠정모형에 하나의 AR항과 MA항을 각각 추가하여 두개의 과대적합모형 설정
  - 주의사항: AR항과 MA항을 동시에 추가하면 안됨

8.6 예측

forecast 패키지 이용 시각화

9 Arima 실습

9.1 데이터 불러오기

#ex8_2a <- fread("data/timeseries/ex8_2a.txt")
ex_7_5d <- scan("data/timeseries/ex7_5d.txt")
ex_7_5d %>% glimpse()

##  num [1:100] 15 34 18 17 16 26 26 28 34 30 ...

9.2 시계열 그림, SACF 작성

ex_7_5d.ts <- ts(ex_7_5d)
plot(ex_7_5d.ts)

acf(ex_7_5d.ts)

ggtsdisplay() : 추세 그래프, acf, pacf plot 생성 ggtsdisplay() 쓰는게 효율적

ggtsdisplay(ex_7_5d.ts)

9.3 차분 차수 결정

adf test 실시
adf test 귀무가설은 비정상 시계열
귀무가설을 기각할 수 없으므로, 차분 필요
ndiffs 함수를 이용해서 최적 차분 차수 결정

library(tseries)
adf.test(ex_7_5d.ts)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  ex_7_5d.ts
## Dickey-Fuller = -2.1037, Lag order = 4, p-value = 0.5337
## alternative hypothesis: stationary

ndiffs(ex_7_5d.ts)

## [1] 1

ndiffs(ex_7_5d.ts, test = "adf")

## [1] 1

9.4 차분 결과 확인

원자료 확률보행과정
차분 이후 백색잡음과정

ex_7_5d_diff <- diff(ex_7_5d.ts, d = 1)
acf(ex_7_5d_diff)

pacf(ex_7_5d_diff)

ggtsdisplay(ex_7_5d_diff)

후보모형
- ARIMA(0, 1, 2)
- ARIMA(2, 1, 2) : 하위 모형 다 선택
  - ARIMA(1, 1, 1)
  - ARIMA(1, 1, 2)
  - ARIMA(2, 1, 1)

9.5 ARIMA(0, 1, 2)

절편 포함 여부 및 모수 유의성 확인
- ma2 비유의

fit1 <- Arima(ex_7_5d.ts, order = c(0, 1, 2), include.drift = T)
confint(fit1)

##            2.5 %      97.5 %
## ma1   -0.7716288 -0.28352060
## ma2   -0.4260835  0.04691902
## drift  1.2321333  2.11047020

비유의한 모수 빼고 다시 적합
- 다른 모수 전부 유의

fit1.1 <- Arima(ex_7_5d.ts, order = c(0, 1, 2), include.drift = T, 
                fixed = c(NA, 0, NA))
confint(fit1.1)

##           2.5 %     97.5 %
## ma1   -0.832967 -0.5721323
## ma2          NA         NA
## drift  1.198877  2.1251634

fit1.2 <- Arima(ex_7_5d.ts, order = c(0, 1, 1), include.drift = T)
confint(fit1.2)

##           2.5 %     97.5 %
## ma1   -0.832967 -0.5721323
## drift  1.198877  2.1251634

# 둘다 결과는 같지만 예를 들어 MA1을 지워야할 경우 첫번째 방식은 안되고, 두번째 방식으로 해야됨

모형 검진
- 가정 만족

checkresiduals(fit1.1)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,2) with drift
## Q* = 9.5841, df = 7, p-value = 0.2134
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 10

과대적합 결과 확인
- 추가된 모수가 비유의하므로 ARIMA(0, 1, 1) 잠정 모형으로 선택

confint(Arima(ex_7_5d.ts, order = c(0, 1, 2), include.drift = T))

##            2.5 %      97.5 %
## ma1   -0.7716288 -0.28352060
## ma2   -0.4260835  0.04691902
## drift  1.2321333  2.11047020

confint(Arima(ex_7_5d.ts, order = c(1, 1, 1), include.drift = T))

##            2.5 %     97.5 %
## ar1   -0.1078336  0.3862985
## ma1   -0.8935299 -0.6123492
## drift  1.2201540  2.1136465

9.6 aic, bic로 후보모형 선택

AIC & BIC 기준 : ARIMA(2, 1, 1)

Arima(ex_7_5d.ts, order = c(1, 1, 1), include.drift = T)$aic

## [1] 692.855

Arima(ex_7_5d.ts, order = c(1, 1, 2), include.drift = T)$aic

## [1] 690.4239

Arima(ex_7_5d.ts, order = c(2, 1, 1), include.drift = T)$aic # 후보 모형

## [1] 689.7133

Arima(ex_7_5d.ts, order = c(2, 1, 2), include.drift = T)$aic

## [1] 691.1555

Arima(ex_7_5d.ts, order = c(1, 1, 1), include.drift = T)$bic

## [1] 703.2355

Arima(ex_7_5d.ts, order = c(1, 1, 2), include.drift = T)$bic

## [1] 703.3995

Arima(ex_7_5d.ts, order = c(2, 1, 1), include.drift = T)$bic # 후보 모형

## [1] 702.6889

Arima(ex_7_5d.ts, order = c(2, 1, 2), include.drift = T)$bic

## [1] 706.7262

fit2 <- Arima(ex_7_5d.ts, order = c(2, 1, 1), include.drift = T)

9.7 ARIMA(2, 1, 1)

절편 포함 여부 및 모수 유의성 확인
- ar1 비유의

confint(fit2)

##            2.5 %      97.5 %
## ar1   -0.2201178  0.30250218
## ar2   -0.4981750 -0.05109239
## ma1   -0.8393299 -0.40694244
## drift  1.2129095  2.13080659

비유의한 모수 제외 후 다시 적합
- 다른 모수 전부 유의

fit2.1 <- Arima(ex_7_5d.ts, order = c(2, 1, 1), include.drift = T, 
                fixed = c(0, NA, NA, NA))
confint(fit2.1)

##            2.5 %      97.5 %
## ar1           NA          NA
## ar2   -0.4961900 -0.07586089
## ma1   -0.7652044 -0.43233015
## drift  1.2024243  2.13873965

모형 검진
- 가정 만족

checkresiduals(fit2.1)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,1,1) with drift
## Q* = 4.7351, df = 6, p-value = 0.5782
## 
## Model df: 4.   Total lags used: 10

과대적합 결과 확인
- 추가된 모수가 비유의하므로 ARIMA(2, 1, 1) 잠정 모형으로 선택

confint(Arima(ex_7_5d.ts, order = c(3, 1, 1), include.drift = T, 
              fixed = c(0, NA, NA, NA, NA))) # ar3 비유의

##            2.5 %      97.5 %
## ar1           NA          NA
## ar2   -0.4978847 -0.07691048
## ar3   -0.2146449  0.18012631
## ma1   -0.7651125 -0.42556878
## drift  1.2060652  2.13716849

confint(Arima(ex_7_5d.ts, order = c(2, 1, 2), include.drift = T, 
              fixed = c(0, NA, NA, NA, NA))) # ma2 비유의

##            2.5 %      97.5 %
## ar1           NA          NA
## ar2   -0.5095385 -0.02199123
## ma1   -0.7832922 -0.37066219
## ma2   -0.2623775  0.18707884
## drift  1.2139814  2.12895114

9.8 Auto.arima

auto.arima()
- aic를 최소로하는 모형 탐색이 default
- bic를 최소로 하는 모형을 탐색하고자 하는 경우 ( ic = "bic) 추가
ARIMA(0, 1, 3) 잠정 모형 선택

auto.arima(ex_7_5d.ts)

## Series: ex_7_5d.ts 
## ARIMA(0,1,3) with drift 
## 
## Coefficients:
##           ma1      ma2     ma3   drift
##       -0.6022  -0.3651  0.2979  1.6658
## s.e.   0.1045   0.1118  0.1172  0.2483
## 
## sigma^2 estimated as 56.61:  log likelihood=-338.71
## AIC=687.43   AICc=688.07   BIC=700.4

auto.arima(ex_7_5d.ts, ic = "bic")

## Series: ex_7_5d.ts 
## ARIMA(0,1,1) with drift 
## 
## Coefficients:
##           ma1   drift
##       -0.7025  1.6620
## s.e.   0.0665  0.2363
## 
## sigma^2 estimated as 60.7:  log likelihood=-343.05
## AIC=692.1   AICc=692.35   BIC=699.89

fit3 <- Arima(ex_7_5d.ts, order = c(0, 1, 3), include.drift = T)

9.9 ARIMA(0, 1, 3)

절편 포함 여부 및 모수 유의성 확인
- 모든 모수 유의

confint(fit3)

##             2.5 %     97.5 %
## ma1   -0.80694420 -0.3974247
## ma2   -0.58417343 -0.1460184
## ma3    0.06824973  0.5276037
## drift  1.17912663  2.1523963

모형 검진
- 가정 만족

checkresiduals(fit3)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,3) with drift
## Q* = 3.3393, df = 6, p-value = 0.7652
## 
## Model df: 4.   Total lags used: 10

과대적합 결과 확인
- ARIMA(1, 1, 3)의 경우 추가된 모수 유의, ma2 비유의, 추가분석 필요
- ARIMA(0, 1, 4)의 경우 추가된 모수 비유의

confint(Arima(ex_7_5d.ts, order = c(1, 1, 3), include.drift = T))

##              2.5 %     97.5 %
## ar1    0.007084997  0.8608423
## ma1   -1.443433477 -0.6033568
## ma2   -0.553314783  0.2881898
## ma3    0.170452848  0.6200290
## drift  1.062203337  2.2736501

confint(Arima(ex_7_5d.ts, order = c(0, 1, 4), include.drift = T))

##             2.5 %     97.5 %
## ma1   -0.79629657 -0.4023714
## ma2   -0.65444266 -0.1494722
## ma3    0.02785128  0.4992412
## ma4   -0.11249099  0.3089903
## drift  1.14473771  2.1930321

9.10 ARIMA(1, 1, 3), ma2 = 0

절편 포함 여부 및 모수 유의성 확인

모든 모수 유의

fit4 <- Arima(ex_7_5d.ts, order = c(1, 1, 3), include.drift = T, 
      fixed = c(NA, NA, 0, NA, NA))
confint(fit4)

##            2.5 %     97.5 %
## ar1    0.2465178  0.7894623
## ma1   -1.2980385 -0.9668025
## ma2           NA         NA
## ma3    0.1933871  0.4998636
## drift  1.0300466  2.3026748

모형 검진
- 가정 만족

checkresiduals(fit4)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(1,1,3) with drift
## Q* = 2.1061, df = 5, p-value = 0.8343
## 
## Model df: 5.   Total lags used: 10

과대적합 결과 확인

추가된 모수 비유의
ARIMA(1, 1, 3), ma2 = 0 모형 잠정모형으로 선택

confint(Arima(ex_7_5d.ts, order = c(2, 1, 3), include.drift = T, 
      fixed = c(NA, NA, NA, 0, NA, NA)))

##            2.5 %     97.5 %
## ar1    0.2300082  0.8010240
## ar2   -0.2982268  0.2019625
## ma1   -1.3220668 -0.9064129
## ma2           NA         NA
## ma3    0.1765349  0.5109311
## drift  1.0520675  2.2877721

confint(Arima(ex_7_5d.ts, order = c(1, 1, 4), include.drift = T, 
      fixed = c(NA, NA, 0, NA, NA, NA)))

##             2.5 %     97.5 %
## ar1    0.20357686  0.9750608
## ma1   -1.48257305 -0.9050508
## ma2            NA         NA
## ma3    0.03500506  0.8576986
## ma4   -0.35740462  0.2078702
## drift  1.04260684  2.2813648

aic, bic를 비교해서 최종 후보모형 선택

ARIMA(1, 1, 3) 모형 최종 모형으로 선택

c(fit1.1$aic, fit2.1$aic, fit4$aic)

## [1] 692.1001 687.8079 685.9708

c(fit1.1$aicc, fit2.1$aicc, fit4$aicc)

## [1] 692.3527 688.2334 686.6160

c(fit1.1$bic, fit2.1$bic, fit4$bic)

## [1] 699.8854 698.1884 698.9464

9.11 예측

summary(forecast(fit4))

## 
## Forecast method: ARIMA(1,1,3) with drift
## 
## Model Information:
## Series: ex_7_5d.ts 
## ARIMA(1,1,3) with drift 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ma1  ma2     ma3   drift
##       0.5180  -1.1324    0  0.3466  1.6664
## s.e.  0.1385   0.0845    0  0.0782  0.3247
## 
## sigma^2 estimated as 55.68:  log likelihood=-337.99
## AIC=685.97   AICc=686.62   BIC=698.95
## 
## Error measures:
##                       ME     RMSE      MAE        MPE    MAPE      MASE
## Training set -0.01229316 7.272843 5.840784 -0.4131836 7.32194 0.8132738
##                     ACF1
## Training set 0.006767061
## 
## Forecasts:
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 101       180.4213 170.8586 189.9839 165.7965 195.0461
## 102       183.1746 172.9258 193.4235 167.5004 198.8489
## 103       185.8045 175.5355 196.0735 170.0994 201.5096
## 104       187.9699 177.4283 198.5116 171.8479 204.0919
## 105       189.8948 178.8541 200.9355 173.0095 206.7802
## 106       191.6951 180.0354 203.3548 173.8631 209.5271
## 107       193.4308 181.1073 205.7543 174.5836 212.2780
## 108       195.1331 182.1407 208.1255 175.2629 215.0033
## 109       196.8181 183.1698 210.4664 175.9448 217.6913
## 110       198.4941 184.2102 212.7780 176.6487 220.3394

plot(forecast(fit4))

10 SARIMA

ARIMA 모형에 계절 요소가 반영된 모형

ARIMA모형과 마찬가지로 차수를 정할 때 ACF, PACF 그래프를 이용해서 확인
계절 요소도 ACF, PACF 그래프를 이용해서 확인

10.1 AR(1)_12 : ARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 0)_12

ACF : 계절 주기 12의 배수에 해당하는 시차 12, 24, 36, ..에 따라 지수적으로 감소
PACF : 시차 12에서만 값을 갖고 그 외의 시차는 0으로 절단

library(forecast)
model <- Arima(ts(rnorm(100),freq=12), order=c(0,0,0), seasonal=c(1,0,0),
             fixed=c(Phi=0.8, Theta=-0.8))
foo <- simulate(model, nsim=1000)

ggtsdisplay(foo)

10.2 MA(1)_12 : ARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1)_12

ACF : 시차 12에서만 값을 갖고 그 외의 시차는 0으로 절단
PACF : 계절 주기 12의 배수에 해당하는 시차 12, 24, 36, ..에 따라 지수적으로 감소

10.3 ARIMA_12: ARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1)_12

ACF : 12 시차 이후부터 계절 주기 12 배수에 해당하는 시차에 따라 지수적 감소
PACF : 12 시차 이후부터 계절 주기 12 배수에 해당하는 시차에 따라 지수적 감소

10.4 ARIMA(P, D, Q)_s

강한 계절요소로 인해 계절 추세가 존재하는 경우

계절 차분을 통해 정상성 회복
nsdiffs(x, m = 계절 주기) : 계절 차분 차수 추정

10.5 ARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s

비계절형 ARIMA 요소, 계절형 ARIMA 요소를 모두 갖고 있는 모형

모형 적합 순서

차분 차수 결정
- 일반 차분 실시 : ACF가 시차 1, 2, …에서 매우 천천히 감소하는 경우
- 계절 차분 실시 : ACF가 시차 s, 2s, … 에서 매우 천천히 감소하는 경우
- 일반적인 경우 d + D는 2이하로 함
- ndiffs(x) : 일반 차분 차수 추정
- nsdiffs(x, m = 계절 주기) : 계절차분 차수 추정
AR(p, P), MA(q, Q) 차수 결정
- 비계절형 차수 p, q : ACF, PACF를 이용한 일반적인 모형 인식 방법 사용
- 계절형 차수 P, Q : ACF, PACF에서 시차 s, 2s, 3s, …을 대상으로 인식
절편 포함 여부 결정
- 이전과 동일하게 신뢰구간을 이용해서 절편 포함 여부 결정
- 2번 차분을 한 경우 절편은 모형에 포함 x

11 SARIMA 실습

1984.1 ~ 1988.12 백화점 매출액 arima 모형 적합하고 12 선행 시차에 대해 예측 실시

11.1 시계열 그림으로 정상성 확인

분산 증가
로그 변환 필요
계절성이 뚜렷함

depart <- scan("data/timeseries/depart.txt")
depart.ts <- ts(depart, start = c(1984), frequency = 12)
plot(depart.ts)

11.2 로그 변환

lndepart <- log(depart.ts)
plot(lndepart)

11.3 Seasonal plot

계절성이 뚜렷함

library(forecast) 
ggseasonplot(lndepart)

ggseasonplot(lndepart,polar=TRUE)

11.4 차분 차수 확인

시계열 그림은 차분이 필요해보임
acf는 차분의 필요성이 명확하지 않음

Acf(lndepart, lag.max = 48)

ndiffs(lndepart)

## [1] 1

nsdiffs(lndepart)

## [1] 1

d=1의 경우

추가적인 계절 차분이 필요해보임

lndepart_1 <- diff(lndepart)
ggtsdisplay(lndepart_1,lag.max=48)

D=1의 경우

추세는 계절 차분만으로도 해결되는 경우가 있음
이 경우 추가 일반 차분 실시

lndepart_12 <- diff(lndepart,lag=12)
ggtsdisplay(lndepart_12,lag.max=48)

d=1, D=1의 경우 - 정상성 확보 - 최적의 차분 : d = 1, D = 1

lndepart_1_12 <- diff(lndepart_1,lag=12)
ggtsdisplay(lndepart_1_12,lag.max=48)

11.5 모형 인식

acf 1차 절단, pacf 감소 : p = 0, q = 1
acf 감소, pacf 2차 절단 : p = 2, q = 0
계절 요소 12, 24, 36, 48 시차에서 모두 비유의적 : P = 0, Q = 0

ggtsdisplay(lndepart_1_12, lag.max = 48)

11.6 ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 0)_12

fit1 <- Arima(lndepart, order=c(0,1,1), seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12))
confint(fit1) # 모든 모수 유의

##          2.5 %     97.5 %
## ma1 -0.7834866 -0.3430529

checkresiduals(fit1) # 모형 가정 만족

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,1)(0,1,0)[12]
## Q* = 14.769, df = 11, p-value = 0.1933
## 
## Model df: 1.   Total lags used: 12

과대적합

과대적합은 비계절형 모수에만 적용
추가된 모수 모두 비유의하므로 ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 0)_12 예측 모형으로 선택

confint(Arima(lndepart,order=c(1,1,1), seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12)))

##          2.5 %     97.5 %
## ar1 -0.4675603  0.3998847
## ma1 -0.8663890 -0.2253052

confint(Arima(lndepart,order=c(0,1,2), seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12)))

##          2.5 %     97.5 %
## ma1 -0.9562689 -0.2298099
## ma2 -0.2958022  0.3652605

11.7 ARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 0)_12

fit2 <- Arima(lndepart,order=c(2,1,0), seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12))
confint(fit2) # 모든 모수 유의

##          2.5 %      97.5 %
## ar1 -0.8157177 -0.23808436
## ar2 -0.6214768 -0.05006133

checkresiduals(fit2) # 가정 만족

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,1,0)(0,1,0)[12]
## Q* = 17.7, df = 10, p-value = 0.06025
## 
## Model df: 2.   Total lags used: 12

과대 적합

추가된 모수 비유의
ARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 0)_12 잠정모형으로 선택

confint(Arima(lndepart,order=c(3,1,0), seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12)))

##          2.5 %      97.5 %
## ar1 -0.8739910 -0.26541395
## ar2 -0.7344992 -0.07719871
## ar3 -0.4476723  0.18256271

confint(Arima(lndepart,order=c(2,1,1), seasonal=list(order=c(0,1,0),period=12)))

##          2.5 %    97.5 %
## ar1 -0.8095983 0.3742461
## ar2 -0.6154847 0.1764711
## ma1 -0.9264064 0.2084493

11.8 auto.arima

fit3 <- auto.arima(lndepart, d = 1, D = 1)
fit3

## Series: lndepart 
## ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ma1     sma1
##       -0.5840  -0.4159
## s.e.   0.1093   0.1946
## 
## sigma^2 estimated as 0.0005401:  log likelihood=110.29
## AIC=-214.59   AICc=-214.03   BIC=-209.04

confint(fit3)

##           2.5 %      97.5 %
## ma1  -0.7982641 -0.36981376
## sma1 -0.7973317 -0.03443859

checkresiduals(fit3)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12]
## Q* = 12.817, df = 10, p-value = 0.2341
## 
## Model df: 2.   Total lags used: 12

과대 적합

추가된 모수 비유의
ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)_12 잠정 모형으로 선택

confint(Arima(lndepart,order=c(1,1,1), seasonal=list(order=c(0,1,1),period=12)))

##           2.5 %      97.5 %
## ar1  -0.4596994  0.38086082
## ma1  -0.8673157 -0.26263265
## sma1 -0.7964791 -0.03491842

confint(Arima(lndepart,order=c(0,1,2), seasonal=list(order=c(0,1,1),period=12)))

##           2.5 %      97.5 %
## ma1  -1.0150960 -0.24179869
## ma2  -0.3098821  0.41114957
## sma1 -0.7958091 -0.03618881

11.9 AIC, BIC 비교

최종 모형 : ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12]

c(fit1$aic, fit2$aic, fit3$aic)

## [1] -212.4561 -210.6719 -214.5855

c(fit1$bic, fit2$bic, fit3$bic)

## [1] -208.7558 -205.1215 -209.0350

# 최종 모형 fit3

11.10 원자료에 대한 예측

함수 Arima()에 lambda를 이용
boxcox 변환 모수인 lambda를 지정하면 자료 변환 후 모형 적합
로그 변환 : lambda = 0
fit3_1과 fit3의 결과는 동일
fit3_1 객체를 forecast에 적용시키면 원자료 크기로 예측 실시

fit3_1 <- Arima(depart.ts,order=c(0,1,1), seasonal=list(order=c(0,1,1), period=12),
                lambda=0)
fit3_1

## Series: depart.ts 
## ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 
## Box Cox transformation: lambda= 0 
## 
## Coefficients:
##           ma1     sma1
##       -0.5840  -0.4159
## s.e.   0.1093   0.1946
## 
## sigma^2 estimated as 0.0005401:  log likelihood=110.29
## AIC=-214.59   AICc=-214.03   BIC=-209.04

fit3

## Series: lndepart 
## ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 
## 
## Coefficients:
##           ma1     sma1
##       -0.5840  -0.4159
## s.e.   0.1093   0.1946
## 
## sigma^2 estimated as 0.0005401:  log likelihood=110.29
## AIC=-214.59   AICc=-214.03   BIC=-209.04

forecast(fit3_1, h=12, level=95)

##          Point Forecast     Lo 95     Hi 95
## Jan 1989       843.2496  805.6917  882.5584
## Feb 1989       861.0162  819.5607  904.5686
## Mar 1989      1196.5509 1134.9464 1261.4993
## Apr 1989      1094.6421 1034.8703 1157.8662
## May 1989      1008.7262  950.6838 1070.3124
## Jun 1989      1054.5252  990.9145 1122.2193
## Jul 1989      1512.3735 1417.1408 1614.0059
## Aug 1989      1025.0112  957.8737 1096.8544
## Sep 1989       976.3806  910.0591 1047.5353
## Oct 1989      1229.0466 1142.6938 1321.9250
## Nov 1989      1235.2486 1145.6798 1331.8199
## Dec 1989      2690.5489 2489.6022 2907.7149

plot(forecast(fit3_1, h=12, level=95))

summary(forecast(fit3_1,h=12,level=95))

## 
## Forecast method: ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12]
## 
## Model Information:
## Series: depart.ts 
## ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 
## Box Cox transformation: lambda= 0 
## 
## Coefficients:
##           ma1     sma1
##       -0.5840  -0.4159
## s.e.   0.1093   0.1946
## 
## sigma^2 estimated as 0.0005401:  log likelihood=110.29
## AIC=-214.59   AICc=-214.03   BIC=-209.04
## 
## Error measures:
##                     ME    RMSE      MAE       MPE    MAPE      MASE       ACF1
## Training set -1.937472 16.9307 11.60509 -0.200563 1.36766 0.1084166 0.04358066
## 
## Forecasts:
##          Point Forecast     Lo 95     Hi 95
## Jan 1989       843.2496  805.6917  882.5584
## Feb 1989       861.0162  819.5607  904.5686
## Mar 1989      1196.5509 1134.9464 1261.4993
## Apr 1989      1094.6421 1034.8703 1157.8662
## May 1989      1008.7262  950.6838 1070.3124
## Jun 1989      1054.5252  990.9145 1122.2193
## Jul 1989      1512.3735 1417.1408 1614.0059
## Aug 1989      1025.0112  957.8737 1096.8544
## Sep 1989       976.3806  910.0591 1047.5353
## Oct 1989      1229.0466 1142.6938 1321.9250
## Nov 1989      1235.2486 1145.6798 1331.8199
## Dec 1989      2690.5489 2489.6022 2907.7149

12 Time series regression

tour <- scan('data/timeseries/tourist.txt')
tour.ts <- ts(tour, start = 1981, frequency = 12)
plot(tour.ts)

12.1 회귀분석 개요

추세 및 계절 변동이 비교적 규칙적인 경우 추세와 계절 변동을 회귀모형으로 설명
일반 화귀모형은 오차의 독립성을 가정함
시계열 자료 특성상 서로 독립인 오차를 가정하는 것은 불가능
오차 사이의 상관관계, 즉 자기상관을 설명하기 위한 추후 조치가 필요

추세 성분만 있는 모형

\(Z_t = \beta_0 + \beta_1t + \cdots + \beta_pt^p + \epsilon_t\)

계절 성분만 있는 모형

\(Z_t = \sum_{i = 1}^s \beta_iD_{t,i} + \epsilon_t, \quad D_{t,i} = 1, \, t=i(\text{mod s})\)

example

계절 성분 주기 : s
월별 자료(s = 12)에 12개 지시변수 사용
\(\beta_i\) : i 월의 효과

1차 추세와 계절 성분이 함께 있는 모형

\(Z_t = \beta_1t + \sum_{i = 1}^{s+1} \beta_iD_{t,i} + \epsilon_t, \quad D_{t,i} = 1, \, t=i(\text{mod s})\)

\(\beta_i\) : i월의 평균
2차 or 3차 추세도 계수만 추가됨
절편 \(\beta_0\)가 제거된 모형
절편을 포함하려면 지시변수를 s-1 개 사용해야함

시계열 자료와 같이 오차가 서로 독립이 아닌 경우의 모형

\(Z_t = \beta_1t + \sum_{i=2}^{s+1} \beta_iD_{t,i} + \epsilon_t, \quad \epsilon_t \sim ARMA(p,q)\)

12.2 모형 가정 확인

잔차 시계열 그림
잔차 Q-QPLOT or 히스토그램
잔차
- ACF
- Ljung Box test
- Durbin-watson test : 오차항의 1차 자기상관 존재 여부에 대한 통계적 검정 (Ljung box test가 더 포괄적이므로 생략)

13 Time series regression 실습

1960~1995 우리나라 총 인구(연도별 자료)
만명 단위로 분석

pop <- scan('data/timeseries/pop.txt')
pop <- round(pop/10000)
pop.ts <- ts(pop, start = 1960, freq = 1)
plot(pop.ts, ylab = "population")

13.1 1차 추세 모형 적합

변수 t 생성

Time <- time(pop.ts)
fit1 <- lm(pop.ts~Time)
summary(fit1)

## 
## Call:
## lm(formula = pop.ts ~ Time)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -115.40  -48.30   16.87   54.37   63.29 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1.091e+05  1.868e+03  -58.43   <2e-16 ***
## Time         5.701e+01  9.444e-01   60.37   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 58.87 on 34 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9908, Adjusted R-squared:  0.9905 
## F-statistic:  3644 on 1 and 34 DF,  p-value: < 2.2e-16

13.2 잔차 분석

2차 추세 형태로 보임

checkresiduals(fit1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 7
## 
## data:  Residuals
## LM test = 31.036, df = 7, p-value = 6.124e-05

13.3 2차 추세모형 적합

분산 증가
로그 변환 필요

fit2 <- lm(pop.ts ~ Time + I(Time^2))
summary(fit2)

## 
## Call:
## lm(formula = pop.ts ~ Time + I(Time^2))
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.365  -4.779  -1.049   3.798  17.631 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -2.410e+06  5.185e+04  -46.49   <2e-16 ***
## Time         2.384e+03  5.244e+01   45.47   <2e-16 ***
## I(Time^2)   -5.885e-01  1.326e-02  -44.38   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7.67 on 33 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9998, Adjusted R-squared:  0.9998 
## F-statistic: 1.083e+05 on 2 and 33 DF,  p-value: < 2.2e-16

checkresiduals(fit2)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 7
## 
## data:  Residuals
## LM test = 34.402, df = 7, p-value = 1.448e-05

13.4 로그 변환 후 2차 추세모형 적합

잔차 일정기간 양의 값, 일정기간 음의 값
오차가 독립이 아니므로 오차에 대한 모형 필요
오차에 대한 모형 ARMA 모형 식별

fit3 <- lm(log(pop.ts)~Time + I(Time^2))
summary(fit3)

## 
## Call:
## lm(formula = log(pop.ts) ~ Time + I(Time^2))
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.009306 -0.003520 -0.000374  0.003284  0.010159 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1.199e+03  3.016e+01  -39.75   <2e-16 ***
## Time         1.204e+00  3.050e-02   39.49   <2e-16 ***
## I(Time^2)   -3.004e-04  7.712e-06  -38.95   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.004461 on 33 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9994, Adjusted R-squared:  0.9993 
## F-statistic: 2.664e+04 on 2 and 33 DF,  p-value: < 2.2e-16

checkresiduals(fit3)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 7
## 
## data:  Residuals
## LM test = 27.984, df = 7, p-value = 0.0002213

13.5 오차 모형 식별

AR(1) 식별

resid <- ts(fit3$resid, start = 1960)
ggtsdisplay(resid)

fit_r1 <- Arima(resid, order = c(1, 0, 0), include.mean = F)
checkresiduals(fit_r1) # 가정 위반

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(1,0,0) with zero mean
## Q* = 30.042, df = 6, p-value = 3.86e-05
## 
## Model df: 1.   Total lags used: 7

13.6 과대 적합

fit_r2 <- Arima(resid, order = c(2, 0, 0), include.mean = F)
fit_r3 <- Arima(resid, order = c(1, 0, 1), include.mean = F)

confint(fit_r2) # 추가된 모수 유의

##         2.5 %     97.5 %
## ar1  1.770756  1.9740120
## ar2 -1.038370 -0.8609524

confint(fit_r3) # 추가된 모수 유의

##         2.5 %   97.5 %
## ar1 0.8861058 1.049141
## ma1 0.5594046 0.910749

checkresiduals(fit_r2) # AR(2) 가정 만족

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,0,0) with zero mean
## Q* = 3.0411, df = 5, p-value = 0.6936
## 
## Model df: 2.   Total lags used: 7

checkresiduals(fit_r3) # 가정 위반

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(1,0,1) with zero mean
## Q* = 16.314, df = 5, p-value = 0.006004
## 
## Model df: 2.   Total lags used: 7

confint(Arima(resid, order = c(2, 0, 1), include.mean = F)) # 추가된 모수 비유의

##          2.5 %     97.5 %
## ar1  1.7436707  1.9825692
## ar2 -1.0500424 -0.8288453
## ma1 -0.2178853  0.4054730

confint(Arima(resid, order = c(3, 0, 0), include.mean = F)) # 추가된 모수 비유의

##          2.5 %     97.5 %
## ar1  1.6411158  2.3518888
## ar2 -1.8677351 -0.5185865
## ar3 -0.2308685  0.4937741

AR(2) 모형 잠정 모형으로 선택

13.7 추세모형 + ar(2) 모형 결합

Arima() : xreg = 에 행렬 X에서 1로 이루어진 첫번째 열을 제외한 행렬을 지정
model.matrix에 추세모형을 입력해서 X 행렬 추출

fit_x <- model.matrix(fit3)[,-1]
f1 <- Arima(pop.ts, order = c(2, 0, 0), xreg = fit_x, lambda = 0)
f1

## Series: pop.ts 
## Regression with ARIMA(2,0,0) errors 
## Box Cox transformation: lambda= 0 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2   intercept    Time  I(Time^2)
##       1.8665  -0.9234  -1183.5728  1.1886     -3e-04
## s.e.  0.0611   0.0581      8.2792  0.0087      0e+00
## 
## sigma^2 estimated as 6.179e-07:  log likelihood=205.62
## AIC=-399.24   AICc=-396.34   BIC=-389.73

checkresiduals(f1) # 가정 만족

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from Regression with ARIMA(2,0,0) errors
## Q* = 3.0095, df = 3, p-value = 0.3902
## 
## Model df: 5.   Total lags used: 8

13.8 예측

new_x <- time(ts(start = 1996, end = 2000))
fore_1 <- forecast(f1, xreg = cbind(new_x, new_x^2)) # xreg = 모델의 x인 t, t^2를 만듦

## Warning in forecast.forecast_ARIMA(f1, xreg = cbind(new_x, new_x^2)): xreg
## contains different column names from the xreg used in training. Please check
## that the regressors are in the same order.

plot(fore_1)

accuracy(fore_1)

##                      ME     RMSE      MAE         MPE       MAPE       MASE
## Training set 0.05364656 2.621428 1.902829 0.002791545 0.05456001 0.03316684
##                   ACF1
## Training set 0.1606469

14 계절 추세 ARMA 오차 회귀모형

depart <- scan("data/timeseries/depart.txt")
depart.ts <- ts(depart, start = c(1984), frequency = 12)

14.1 time series plot

뚜렷한 추세 및 계절 성분
분산 증가

plot(depart.ts)

14.2 분산 안정화 변환

lndepart <- log(depart.ts)
plot(lndepart)

14.3 계절 추세 모형 적합

Time <- time(lndepart) # 추세 변수 생성 
Month <- cycle(lndepart) # 계절 추세 변수 생성

fit1 <- lm(lndepart ~ Time + factor(Month) + 0) # 0 : 절편 제거 
summary(fit1) # 지시변수 중 비유의한 것 있어도 제외 x

## 
## Call:
## lm(formula = lndepart ~ Time + factor(Month) + 0)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.038679 -0.018689 -0.001468  0.015185  0.057288 
## 
## Coefficients:
##                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## Time               0.12792    0.00231   55.39   <2e-16 ***
## factor(Month)1  -247.72500    4.58685  -54.01   <2e-16 ***
## factor(Month)2  -247.70839    4.58705  -54.00   <2e-16 ***
## factor(Month)3  -247.40807    4.58724  -53.93   <2e-16 ***
## factor(Month)4  -247.49384    4.58743  -53.95   <2e-16 ***
## factor(Month)5  -247.57595    4.58762  -53.97   <2e-16 ***
## factor(Month)6  -247.56941    4.58782  -53.96   <2e-16 ***
## factor(Month)7  -247.20068    4.58801  -53.88   <2e-16 ***
## factor(Month)8  -247.60491    4.58820  -53.97   <2e-16 ***
## factor(Month)9  -247.68907    4.58839  -53.98   <2e-16 ***
## factor(Month)10 -247.45574    4.58859  -53.93   <2e-16 ***
## factor(Month)11 -247.44748    4.58878  -53.92   <2e-16 ***
## factor(Month)12 -246.67871    4.58897  -53.76   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.0253 on 47 degrees of freedom
## Multiple R-squared:      1,  Adjusted R-squared:      1 
## F-statistic: 3.199e+05 on 13 and 47 DF,  p-value: < 2.2e-16

14.4 가정 확인

오차에 대한 모형 필요

checkresiduals(fit1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 16
## 
## data:  Residuals
## LM test = 36.542, df = 16, p-value = 0.002432

14.5 오차 모형 식별

AR(3) 모형 식별

resid <- fit1$residuals
ggtsdisplay(resid)

14.6 오차 모형 추정

confint(Arima(resid, order = c(3, 0, 0), include.mean = F)) # ar2 비유의

##          2.5 %    97.5 %
## ar1  0.1097876 0.5924598
## ar2 -0.2190874 0.3184025
## ar3  0.1368731 0.6274369

fit_r1 <- Arima(resid, order = c(3, 0, 0), include.mean = F, 
                fixed = c(NA, 0, NA))
confint(fit_r1)

##         2.5 %    97.5 %
## ar1 0.1576378 0.5859797
## ar2        NA        NA
## ar3 0.1862973 0.6202480

checkresiduals(fit_r1, lag.max = 48)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(3,0,0) with zero mean
## Q* = 8.2247, df = 7, p-value = 0.3132
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 10

14.7 과대적합

최종모형 : ar2가 비유의한 AR(3)

confint(Arima(resid, order = c(3, 0, 1), include.mean = F, fixed = c(NA, 0, NA, NA)))

##           2.5 %    97.5 %
## ar1 -0.16881705 0.9289584
## ar2          NA        NA
## ar3  0.06583327 0.7321927
## ma1 -0.70846193 0.6855687

confint(Arima(resid, order = c(4, 0, 0), include.mean = F, fixed = c(NA, 0, NA, NA)))

##          2.5 %    97.5 %
## ar1  0.1474370 0.6341337
## ar2         NA        NA
## ar3  0.1787318 0.6634399
## ar4 -0.3304956 0.2376827

14.8 계절추세모형과 AR(3) 모형 결합

fit1 : 절편 없는 모형
fit1 + ar2가 비유의적인 AR(3)모형의 모수 : ar1, ar2, ar3, t, D1, … D12

fit_x <- model.matrix(fit1)
fit2 <- Arima(depart.ts, order = c(3, 0, 0), xreg = fit_x, include.mean = F,
              fixed = c(NA, 0, NA, rep(NA, 13)), lambda = 0)
coef(fit2)

##             ar1             ar2             ar3            Time  factor(Month)1 
##       0.3721191       0.0000000       0.4145015       0.1302350    -252.3139317 
##  factor(Month)2  factor(Month)3  factor(Month)4  factor(Month)5  factor(Month)6 
##    -252.2990950    -251.9993784    -252.0846335    -252.1672680    -252.1617338 
##  factor(Month)7  factor(Month)8  factor(Month)9 factor(Month)10 factor(Month)11 
##    -251.7928366    -252.1966632    -252.2827161    -252.0496915    -252.0385725 
## factor(Month)12 
##    -251.2736958

confint(fit2) # 모든 모수 유의

##                         2.5 %       97.5 %
## ar1              4.205796e-02    0.7021802
## ar2                        NA           NA
## ar3              1.538731e-03    0.8274642
## Time             1.202352e-01    0.1402348
## factor(Month)1  -2.720167e+02 -232.6111917
## factor(Month)2  -2.720015e+02 -232.5967039
## factor(Month)3  -2.717021e+02 -232.2966492
## factor(Month)4  -2.717866e+02 -232.3826948
## factor(Month)5  -2.718691e+02 -232.4654801
## factor(Month)6  -2.718640e+02 -232.4594577
## factor(Month)7  -2.714952e+02 -232.0905124
## factor(Month)8  -2.718991e+02 -232.4942177
## factor(Month)9  -2.719860e+02 -232.5794706
## factor(Month)10 -2.717536e+02 -232.3458081
## factor(Month)11 -2.717428e+02 -232.3343937
## factor(Month)12 -2.709789e+02 -231.5684639

14.9 최종모형 잔차분석

검정결과: 독립가설 기각
이유: 최종 모형에 포하된 변수가 많아서 검정 자유도가 너무 작아서 발생한 것으로 판단
잔차의 ACF : 독립성에 큰 문제가 없는 것으로 보임

checkresiduals(fit2, lag.max = 48)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from Regression with ARIMA(3,0,0) errors
## Q* = 19.109, df = 3, p-value = 0.0002596
## 
## Model df: 16.   Total lags used: 19

14.10 예측

예측 기간에 해당되는 변수 t와 지시변수 \(D_1, \cdots, D_12\)로 행렬 구성

new_t <- time(ts(start = c(1989,1), end = c(1989, 12), freq =12))
new_x <- cbind(new_t, diag(rep(1, 12)))
fore_2 <- forecast(fit2, xreg = new_x)

## Warning in forecast.forecast_ARIMA(fit2, xreg = new_x): xreg contains different
## column names from the xreg used in training. Please check that the regressors
## are in the same order.

plot(fore_2)

accuracy(fore_2)

##                     ME     RMSE      MAE        MPE    MAPE      MASE
## Training set 0.1605952 14.28129 10.34678 0.01541014 1.25833 0.0966612
##                    ACF1
## Training set 0.06256301

15 시계열 그래프 그리는 방법

15.1 데이터 불러오기

미국 Pan Am 항공사의 1949-1960 월별 항공기 탑승객 수(천명 단위)

AP <- AirPassengers 
AP

##      Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
## 1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140
## 1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166
## 1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194
## 1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201
## 1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229
## 1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278
## 1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306
## 1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336
## 1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337
## 1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405
## 1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432

AP %>% glimpse()

##  Time-Series [1:144] from 1949 to 1961: 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 ...

15.2 ts 객체 특성

class(AP)

## [1] "ts"

start(AP)

## [1] 1949    1

end(AP)

## [1] 1960   12

frequency(AP)

## [1] 12

plot(AP)

15.3 월별 변동량 boxplot

cycle(AP) # 각 자료의 해당 월을 추출

##      Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 1949   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1950   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1951   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1952   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1953   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1954   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1955   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1956   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1957   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1958   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1959   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12
## 1960   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12

boxplot(AP~cycle(AP))

15.4 데이터 불러오기2

1996.1 ~ 2006.8 미국 marine 주의 실업률

Maine <- fread('data/timeseries/Maine.txt')
Maine

##      unemploy
##   1:      6.7
##   2:      6.7
##   3:      6.4
##   4:      5.9
##   5:      5.2
##  ---         
## 124:      4.6
## 125:      4.2
## 126:      4.4
## 127:      4.4
## 128:      3.9

str(Maine)

## Classes 'data.table' and 'data.frame':   128 obs. of  1 variable:
##  $ unemploy: num  6.7 6.7 6.4 5.9 5.2 4.8 4.8 4 4.2 4.4 ...
##  - attr(*, ".internal.selfref")=<externalptr>

class(Maine)

## [1] "data.table" "data.frame"

15.5 ts 객체로 변환

ts(data, start, end, frequency = 12)

data : 시계열 자료로 변환시키고자 하는 벡터
start : 자료의 시작점 지정
- EX) 2021년 1월 : start = c(1996, 1)
end : 자료의 끝점 지정(생략하면 모든 데이터 포함)
- EX) 2021년 12월 : end = c(2005, 12)
freq: 주기 지정. 월별 자료는 12

Maine.ts <- ts(Maine$unemploy, start = c(1996, 1), frequency = 12)
plot(Maine.ts)

15.6 시계열 자료 부분 선택

window(data, start, end)

data : 시계열 자료로 변환시키고자 하는 벡터
start : 자료의 시작점 지정
- EX) 2021년 1월 : start = c(1996, 1)
end : 자료의 끝점 지정(생략하면 모든 데이터 포함)
- EX) 2021년 12월 : end = c(2005, 12)

Maine.2000 <- window(Maine.ts, start = c(2000, 1))
plot(Maine.2000)

15.7 Multiple timeseries plot

cbe <- fread('data/timeseries/cbe.txt')
cbe

##      choc  beer  elec
##   1: 1451  96.3  1497
##   2: 2037  84.4  1463
##   3: 2477  91.2  1648
##   4: 2785  81.9  1595
##   5: 2994  80.5  1777
##  ---                 
## 392: 8715 148.3 14338
## 393: 8450 133.5 12867
## 394: 9085 193.8 12761
## 395: 8350 208.4 12449
## 396: 7080 197.0 12658

choc.ts <- ts(cbe$choc, start = 1958, freq = 12)
beer.ts <- ts(cbe$beer, start = 1958, freq = 12)
elec.ts <- ts(cbe$elec, start = 1958, freq = 12)

plot(cbind(choc.ts, beer.ts, elec.ts), main = "")

15.8 scan

global <- fread('data/timeseries/global.txt')
global

##          V1     V2     V3     V4     V5
##   1: -0.384 -0.457 -0.673 -0.344 -0.311
##   2: -0.071 -0.246 -0.235 -0.380 -0.418
##   3: -0.670 -0.386 -0.437 -0.150 -0.528
##   4: -0.692 -0.629 -0.363 -0.375 -0.328
##   5: -0.495 -0.646 -0.754 -0.137 -0.452
##  ---                                   
## 356:  0.573  0.508  0.619  0.527  0.469
## 357:  0.295  0.358  0.364  0.436  0.452
## 358:  0.494  0.586  0.385  0.502  0.355
## 359:  0.512  0.553  0.494  0.516  0.537
## 360:  0.510  0.526  0.514  0.493  0.305

global_s <- scan('data/timeseries/global.txt')
global_s

##    [1] -0.384 -0.457 -0.673 -0.344 -0.311 -0.071 -0.246 -0.235 -0.380 -0.418
##   [11] -0.670 -0.386 -0.437 -0.150 -0.528 -0.692 -0.629 -0.363 -0.375 -0.328
##   [21] -0.495 -0.646 -0.754 -0.137 -0.452 -1.031 -0.643 -0.328 -0.311 -0.263
##   [31] -0.248 -0.274 -0.203 -0.121 -0.913 -0.197 -0.249 -0.041 -0.082 -0.172
##   [41] -0.085 -0.278 -0.220 -0.132 -0.436 -0.234 -0.288 -0.486 -0.070 -0.526
##   [51] -0.599 -0.420 -0.273 -0.063 -0.182 -0.256 -0.213 -0.326 -0.696 -0.813
##   [61] -0.858 -0.415 -0.431 -0.443 -0.735 -0.169 -0.227 -0.131 -0.377 -0.375
##   [71] -0.434 -0.209 -0.711 -0.817 -0.435 -0.232 -0.194 -0.322 -0.466 -0.623
##   [81] -0.345 -0.382 -0.932 -0.768  0.263 -0.063 -0.379 -0.187 -0.320 -0.365
##   [91] -0.510 -0.359 -0.291 -0.431 -0.362 -0.276 -0.834 -0.604 -0.516 -0.482
##  [101] -0.399 -0.200 -0.138 -0.332 -0.394 -0.711 -0.507 -0.587 -0.125 -0.615
##  [111] -0.597 -0.135 -0.152 -0.227 -0.153 -0.267  0.002 -0.358 -0.200 -0.324
##  [121]  0.095 -0.173 -0.396 -0.119 -0.533  0.078 -0.089 -0.282 -0.224 -0.364
##  [131] -0.294 -0.368 -0.306  0.087 -0.665 -0.235 -0.452 -0.316 -0.267 -0.218
##  [141] -0.073 -0.177 -0.317 -0.540 -0.718 -0.382  0.004 -0.281 -0.029 -0.113
##  [151]  0.067 -0.135 -0.234 -0.247 -0.517 -0.098 -0.159  0.241 -0.602 -0.232
##  [161] -0.210 -0.372 -0.295 -0.228 -0.252 -0.581 -0.489 -0.487 -0.072 -0.462
##  [171] -0.426 -0.246 -0.260 -0.242 -0.110 -0.216 -0.248 -0.352 -0.133 -0.729
##  [181] -0.349 -0.528 -0.058 -0.157 -0.215 -0.216 -0.129 -0.218 -0.437 -0.505
##  [191] -0.613 -0.643 -0.378 -0.385 -0.469 -0.163 -0.109 -0.117 -0.206 -0.146
##  [201] -0.171 -0.269 -0.359 -0.385 -0.090 -0.397 -0.365 -0.414 -0.433 -0.187
##  [211] -0.138 -0.183 -0.302 -0.541 -0.508 -0.397 -0.033 -0.407 -0.569 -0.573
##  [221] -0.470 -0.300 -0.111 -0.342 -0.248 -0.476 -0.564 -0.425 -0.665 -0.673
##  [231] -0.561 -0.457 -0.099 -0.162 -0.330 -0.233 -0.390 -0.463 -0.533 -0.493
##  [241] -0.320 -0.361 -0.451 -0.407 -0.548 -0.387 -0.272 -0.239 -0.456 -0.465
##  [251] -0.739 -0.812 -0.401 -0.085 -0.310 -0.442 -0.530 -0.155 -0.136 -0.165
##  [261] -0.121 -0.157 -0.186  0.142  0.009  0.204  0.341  0.159 -0.125 -0.066
##  [271] -0.134 -0.116 -0.113 -0.169 -0.274 -0.430 -0.244 -0.254 -0.145 -0.330
##  [281] -0.279 -0.222 -0.166 -0.298 -0.220 -0.217 -0.537 -0.555 -0.108 -0.264
##  [291] -0.300 -0.217 -0.334 -0.382 -0.280 -0.112 -0.274 -0.434 -0.557 -0.280
##  [301] -0.506 -0.354 -0.231 -0.174 -0.020 -0.211 -0.029 -0.104 -0.221 -0.351
##  [311] -0.497 -0.246 -0.070 -0.123 -0.070 -0.276 -0.266 -0.321 -0.221 -0.166
##  [321] -0.252 -0.365 -0.489 -0.530 -0.480 -0.382 -0.437 -0.327 -0.317 -0.043
##  [331] -0.146 -0.241 -0.335 -0.435 -0.348 -0.315 -0.402 -0.300 -0.362 -0.444
##  [341] -0.345 -0.344 -0.243 -0.198 -0.290 -0.300 -0.559 -0.384 -0.551 -0.481
##  [351] -0.343 -0.426 -0.386 -0.432 -0.268 -0.301 -0.241 -0.309 -0.311 -0.150
##  [361] -0.340 -0.490 -0.339 -0.140 -0.061 -0.236 -0.138 -0.134 -0.202 -0.341
##  [371] -0.362 -0.290 -0.439 -0.483 -0.363 -0.426 -0.262 -0.302 -0.151 -0.278
##  [381] -0.259 -0.465 -0.365 -0.357 -0.629 -0.512 -0.556 -0.281 -0.301 -0.234
##  [391] -0.265 -0.260 -0.139 -0.114 -0.218 -0.234 -0.195 -0.144 -0.142 -0.120
##  [401] -0.036 -0.088 -0.200 -0.266 -0.270 -0.351 -0.436 -0.185 -0.347 -0.308
##  [411] -0.334 -0.315 -0.454 -0.398 -0.406 -0.406 -0.466 -0.472 -0.596 -0.423
##  [421] -0.583 -0.555 -0.422 -0.364 -0.256 -0.285 -0.312 -0.258 -0.167 -0.319
##  [431] -0.537 -0.163 -0.477 -0.099 -0.453 -0.481 -0.407 -0.250 -0.397 -0.351
##  [441] -0.232 -0.439 -0.571 -0.746 -1.032 -0.803 -0.386 -0.538 -0.518 -0.342
##  [451] -0.185 -0.314 -0.300 -0.259 -0.368 -0.329 -0.422 -0.333 -0.370 -0.407
##  [461] -0.435 -0.467 -0.342 -0.358 -0.500 -0.417 -0.474 -0.408 -0.567 -0.688
##  [471] -0.465 -0.356 -0.353 -0.291 -0.384 -0.257 -0.205 -0.245 -0.274 -0.267
##  [481] -0.241 -0.200 -0.412 -0.358 -0.096 -0.133 -0.145 -0.148 -0.155 -0.099
##  [491] -0.311 -0.091 -0.290 -0.168 -0.323 -0.095 -0.011 -0.076 -0.111 -0.119
##  [501] -0.105 -0.149 -0.414 -0.350 -0.053 -0.297 -0.770 -0.396 -0.398 -0.205
##  [511] -0.269 -0.255 -0.258 -0.446 -0.461 -0.265 -0.247 -0.505 -0.518 -0.294
##  [521] -0.250 -0.291 -0.173 -0.151 -0.115 -0.135  0.054 -0.404 -0.302 -0.269
##  [531] -0.339 -0.250 -0.159 -0.067 -0.153 -0.173 -0.140 -0.038 -0.312 -0.089
##  [541] -0.134 -0.255 -0.256 -0.144 -0.178 -0.149 -0.236 -0.238 -0.314 -0.325
##  [551] -0.426 -0.436 -0.083 -0.149 -0.321 -0.423 -0.344 -0.329 -0.298 -0.353
##  [561] -0.368 -0.449 -0.522 -0.544 -0.321 -0.136 -0.421 -0.445 -0.441 -0.473
##  [571] -0.459 -0.492 -0.524 -0.532 -0.533 -0.575 -0.626 -0.546 -0.649 -0.561
##  [581] -0.452 -0.403 -0.416 -0.373 -0.358 -0.350 -0.266 -0.330 -0.470 -0.679
##  [591] -0.503 -0.549 -0.342 -0.288 -0.280 -0.265 -0.251 -0.342 -0.238 -0.233
##  [601] -0.171 -0.319 -0.375 -0.182 -0.251 -0.226 -0.308 -0.238 -0.318 -0.300
##  [611] -0.503 -0.312 -0.531 -0.531 -0.426 -0.604 -0.661 -0.556 -0.478 -0.459
##  [621] -0.382 -0.363 -0.595 -0.483 -0.432 -0.465 -0.635 -0.515 -0.523 -0.379
##  [631] -0.387 -0.446 -0.386 -0.516 -0.571 -0.490 -0.538 -0.514 -0.635 -0.572
##  [641] -0.529 -0.444 -0.493 -0.285 -0.276 -0.291 -0.287 -0.516 -0.317 -0.435
##  [651] -0.441 -0.404 -0.447 -0.460 -0.331 -0.386 -0.372 -0.468 -0.585 -0.640
##  [661] -0.520 -0.612 -0.643 -0.666 -0.500 -0.466 -0.383 -0.372 -0.346 -0.409
##  [671] -0.352 -0.273 -0.354 -0.260 -0.457 -0.347 -0.354 -0.251 -0.414 -0.507
##  [681] -0.494 -0.573 -0.461 -0.399 -0.379 -0.464 -0.602 -0.471 -0.520 -0.516
##  [691] -0.370 -0.302 -0.346 -0.394 -0.230 -0.133 -0.063 -0.194 -0.330 -0.368
##  [701] -0.259 -0.198 -0.183 -0.270 -0.299 -0.140 -0.328 -0.360 -0.190 -0.004
##  [711] -0.408 -0.050 -0.218 -0.104 -0.032 -0.159 -0.085 -0.265 -0.169 -0.248
##  [721] -0.242 -0.237 -0.529 -0.339 -0.374 -0.433 -0.300 -0.250 -0.275 -0.310
##  [731] -0.510 -0.658 -0.514 -0.785 -0.788 -0.503 -0.748 -0.374 -0.252 -0.319
##  [741] -0.150 -0.411 -0.353 -0.787 -0.540 -0.557 -0.537 -0.541 -0.598 -0.324
##  [751] -0.393 -0.417 -0.344 -0.137 -0.231 -0.269 -0.198 -0.157 -0.355 -0.104
##  [761] -0.295 -0.232 -0.254 -0.289 -0.171 -0.305 -0.634 -0.484 -0.246 -0.414
##  [771] -0.196 -0.275 -0.176 -0.265 -0.333 -0.238 -0.175 -0.304 -0.412 -0.443
##  [781] -0.105 -0.242 -0.221 -0.180 -0.131 -0.149 -0.116 -0.304 -0.265 -0.197
##  [791] -0.438 -0.238 -0.370 -0.350 -0.336 -0.321 -0.332 -0.311 -0.285 -0.285
##  [801] -0.310 -0.332 -0.299 -0.325 -0.195 -0.463 -0.354 -0.452 -0.354 -0.262
##  [811] -0.382 -0.433 -0.303 -0.224 -0.061 -0.058 -0.320 -0.308 -0.320 -0.406
##  [821] -0.322 -0.265 -0.274 -0.287 -0.319 -0.330 -0.391 -0.565 -0.402 -0.291
##  [831] -0.256 -0.263 -0.293 -0.282 -0.265 -0.172 -0.244 -0.328 -0.151  0.015
##  [841]  0.085  0.055 -0.011 -0.203 -0.235 -0.142 -0.195 -0.054 -0.122 -0.082
##  [851] -0.215 -0.242 -0.256 -0.108 -0.347 -0.275 -0.278 -0.190 -0.135 -0.153
##  [861] -0.114 -0.075 -0.205 -0.473 -0.128 -0.214 -0.400 -0.324 -0.259 -0.280
##  [871] -0.187 -0.214 -0.170 -0.172 -0.133 -0.194 -0.430 -0.687 -0.388 -0.397
##  [881] -0.389 -0.344 -0.349 -0.257 -0.260 -0.143 -0.093 -0.516 -0.354 -0.207
##  [891] -0.188 -0.211 -0.233 -0.127 -0.105 -0.079 -0.130 -0.119  0.026 -0.095
##  [901]  0.007 -0.240 -0.122 -0.161 -0.163 -0.016  0.019 -0.061 -0.097 -0.061
##  [911] -0.179 -0.084  0.126 -0.234 -0.307 -0.110 -0.207 -0.139 -0.110 -0.136
##  [921] -0.030 -0.083 -0.232 -0.188 -0.276 -0.320 -0.322 -0.218 -0.195 -0.159
##  [931] -0.132 -0.101 -0.188 -0.147 -0.313 -0.489 -0.221 -0.151 -0.371 -0.267
##  [941] -0.090 -0.034 -0.060 -0.046 -0.141 -0.073 -0.056 -0.118 -0.286  0.171
##  [951] -0.204 -0.302 -0.285 -0.184 -0.123 -0.122 -0.151 -0.036 -0.311 -0.216
##  [961] -0.232 -0.366 -0.239 -0.236 -0.127 -0.086  0.019 -0.014 -0.068 -0.032
##  [971] -0.046 -0.006 -0.154  0.080 -0.247 -0.167 -0.056  0.019  0.030  0.108
##  [981]  0.130  0.088  0.013 -0.128  0.032  0.062  0.147  0.150  0.053  0.032
##  [991]  0.124  0.053  0.124  0.197  0.096 -0.187 -0.042 -0.030 -0.218 -0.116
## [1001] -0.035  0.094  0.028  0.044 -0.113 -0.207 -0.068  0.160 -0.402 -0.183
## [1011] -0.184 -0.100 -0.122  0.016  0.134 -0.070  0.033 -0.077 -0.103  0.084
## [1021] -0.040  0.037 -0.114  0.089 -0.050  0.054  0.066  0.028 -0.117  0.211
## [1031]  0.061  0.102  0.143 -0.104 -0.039  0.006  0.007  0.044 -0.084 -0.019
## [1041]  0.042 -0.018 -0.060 -0.124 -0.249  0.036 -0.221 -0.020  0.071 -0.063
## [1051]  0.082 -0.037  0.024  0.188  0.005  0.162  0.282  0.133  0.101  0.024
## [1061]  0.107  0.187  0.210  0.213  0.294  0.247  0.062 -0.011  0.036  0.037
## [1071]  0.003  0.161 -0.100  0.004 -0.018  0.301  0.107  0.134 -0.013 -0.189
## [1081]  0.084  0.094 -0.196 -0.002 -0.190 -0.241 -0.105 -0.197 -0.067 -0.041
## [1091] -0.127 -0.383 -0.148 -0.186 -0.097 -0.071 -0.129 -0.064 -0.094 -0.086
## [1101] -0.126  0.043 -0.014 -0.236  0.018 -0.147 -0.212 -0.091  0.005 -0.019
## [1111] -0.140 -0.092 -0.093 -0.033 -0.096 -0.205  0.107 -0.201 -0.187 -0.043
## [1121] -0.113 -0.150 -0.110 -0.043 -0.058 -0.060 -0.084 -0.230 -0.329 -0.274
## [1131] -0.157 -0.209 -0.148 -0.119 -0.139 -0.165 -0.135 -0.170 -0.403 -0.237
## [1141] -0.364 -0.462 -0.270 -0.157 -0.089 -0.053 -0.018  0.044  0.091  0.092
## [1151] -0.036  0.106  0.106  0.069 -0.121  0.021 -0.007  0.008  0.003  0.018
## [1161]  0.018 -0.056 -0.218 -0.086  0.051  0.122  0.107  0.112  0.021  0.030
## [1171] -0.039  0.015  0.047  0.056 -0.071  0.068 -0.221 -0.103 -0.186 -0.212
## [1181] -0.254 -0.158 -0.254 -0.146 -0.107 -0.112 -0.021 -0.247  0.053 -0.169
## [1191] -0.389 -0.290 -0.219 -0.188 -0.192 -0.075 -0.103 -0.115 -0.268 -0.320
## [1201] -0.239 -0.379 -0.323 -0.326 -0.323 -0.261 -0.203 -0.242 -0.268 -0.195
## [1211] -0.295 -0.248 -0.154 -0.103 -0.115 -0.066  0.013  0.050 -0.019  0.061
## [1221]  0.027 -0.002  0.083  0.168  0.275  0.174  0.065  0.046  0.045  0.001
## [1231]  0.049  0.017 -0.034  0.013  0.041  0.078  0.110  0.056  0.088  0.062
## [1241] -0.010  0.053  0.033 -0.011  0.032 -0.061 -0.138 -0.055 -0.020  0.158
## [1251] -0.296 -0.128 -0.133  0.009  0.006  0.009  0.042 -0.006 -0.118  0.136
## [1261]  0.028  0.134  0.055  0.069  0.077  0.066 -0.023  0.007 -0.023 -0.079
## [1271] -0.049 -0.092  0.031  0.087  0.016 -0.020 -0.067 -0.062 -0.022 -0.017
## [1281] -0.004  0.033  0.024  0.027 -0.042  0.166 -0.123 -0.053 -0.040 -0.021
## [1291]  0.061  0.100  0.085  0.155  0.110  0.016 -0.023 -0.158 -0.277 -0.246
## [1301] -0.175 -0.185 -0.172 -0.255 -0.283 -0.342 -0.297 -0.414 -0.195 -0.290
## [1311] -0.244 -0.273 -0.155 -0.129 -0.217 -0.127 -0.100 -0.055 -0.148 -0.078
## [1321] -0.097 -0.080 -0.066 -0.132 -0.120  0.017  0.005 -0.057 -0.018 -0.119
## [1331] -0.108 -0.218 -0.172 -0.269 -0.110 -0.094  0.019 -0.125 -0.112 -0.052
## [1341] -0.096  0.071 -0.107 -0.134 -0.272 -0.227  0.015 -0.192 -0.209 -0.095
## [1351] -0.068 -0.055 -0.053 -0.013 -0.050 -0.093 -0.178 -0.106  0.028  0.104
## [1361]  0.079  0.025  0.076  0.051  0.027  0.039  0.130  0.169  0.068  0.172
## [1371] -0.040  0.043 -0.042 -0.013 -0.067 -0.079 -0.051 -0.096 -0.070 -0.215
## [1381] -0.078 -0.309 -0.286 -0.236 -0.232 -0.246 -0.152 -0.129 -0.126 -0.148
## [1391] -0.126 -0.206 -0.350 -0.286 -0.154 -0.065 -0.038  0.022  0.013  0.069
## [1401] -0.002  0.052  0.016  0.173  0.187  0.263  0.237  0.137  0.129  0.128
## [1411]  0.074  0.028 -0.023  0.011 -0.071 -0.070 -0.301 -0.314 -0.194 -0.169
## [1421] -0.146 -0.111 -0.065 -0.073 -0.140 -0.172 -0.174 -0.218 -0.077 -0.111
## [1431] -0.092 -0.091 -0.038 -0.082 -0.082 -0.120 -0.066 -0.220 -0.264 -0.281
## [1441] -0.197 -0.278 -0.391 -0.153 -0.258 -0.148 -0.156 -0.165 -0.129 -0.294
## [1451] -0.166 -0.092 -0.112  0.088  0.140  0.122  0.060  0.123  0.051  0.019
## [1461]  0.067  0.017  0.140 -0.014  0.065  0.027  0.027 -0.030 -0.114 -0.130
## [1471] -0.031 -0.120 -0.045 -0.092  0.011 -0.041  0.014 -0.121  0.006 -0.042
## [1481] -0.023  0.078  0.036  0.114  0.128  0.159  0.138  0.334  0.129  0.148
## [1491]  0.047  0.138  0.203  0.126  0.067  0.056  0.040  0.032  0.162  0.056
## [1501]  0.304  0.202  0.227  0.159  0.067  0.077  0.042  0.090  0.072  0.035
## [1511]  0.074  0.254 -0.007 -0.025 -0.104  0.030  0.051 -0.021 -0.002 -0.011
## [1521]  0.077  0.039 -0.012  0.209  0.373  0.334  0.247  0.188  0.173  0.198
## [1531]  0.207  0.235  0.211  0.114  0.276  0.113  0.130  0.047  0.106  0.037
## [1541]  0.115  0.018  0.061  0.095  0.036  0.012 -0.078 -0.211  0.086 -0.093
## [1551]  0.010 -0.015  0.052 -0.033 -0.018  0.047  0.005  0.029 -0.016  0.086
## [1561]  0.198  0.185  0.120  0.109  0.102  0.116  0.055  0.053  0.076  0.077
## [1571] -0.029  0.084  0.189  0.339  0.070  0.182  0.199  0.219  0.330  0.270
## [1581]  0.330  0.264  0.252  0.418  0.427  0.297  0.373  0.316  0.248  0.251
## [1591]  0.200  0.220  0.166  0.185  0.038  0.143  0.061  0.159  0.155  0.131
## [1601]  0.107  0.148  0.208  0.206  0.198  0.225  0.132  0.243  0.237  0.283
## [1611]  0.534  0.355  0.282  0.271  0.253  0.291  0.218  0.351  0.360  0.260
## [1621]  0.301  0.385  0.220  0.376  0.296  0.341  0.289  0.222  0.210  0.173
## [1631]  0.107  0.095  0.349  0.306  0.245  0.143  0.144  0.130  0.020  0.035
## [1641]  0.004 -0.021 -0.064  0.097  0.321  0.296  0.262  0.227  0.223  0.169
## [1651]  0.136  0.111  0.051  0.137  0.017  0.194  0.222 -0.032  0.223  0.243
## [1661]  0.244  0.224  0.185  0.224  0.239  0.327  0.361  0.331  0.462  0.558
## [1671]  0.373  0.319  0.281  0.369  0.387  0.415  0.323  0.350  0.361  0.280
## [1681]  0.163  0.343  0.217  0.164  0.256  0.274  0.281  0.228  0.189  0.165
## [1691]  0.166  0.278  0.254  0.348  0.324  0.295  0.299  0.431  0.422  0.444
## [1701]  0.517  0.538  0.488  0.572  0.512  0.824  0.593  0.660  0.613  0.639
## [1711]  0.704  0.670  0.475  0.452  0.345  0.469  0.404  0.607  0.283  0.357
## [1721]  0.296  0.328  0.340  0.287  0.324  0.280  0.197  0.383  0.203  0.429
## [1731]  0.388  0.469  0.304  0.267  0.250  0.365  0.304  0.219  0.123  0.172
## [1741]  0.343  0.307  0.505  0.432  0.456  0.415  0.447  0.502  0.407  0.390
## [1751]  0.523  0.348  0.641  0.680  0.620  0.445  0.429  0.449  0.488  0.395
## [1761]  0.439  0.395  0.423  0.301  0.545  0.430  0.393  0.397  0.450  0.440
## [1771]  0.454  0.518  0.521  0.573  0.429  0.573  0.508  0.619  0.527  0.469
## [1781]  0.295  0.358  0.364  0.436  0.452  0.494  0.586  0.385  0.502  0.355
## [1791]  0.512  0.553  0.494  0.516  0.537  0.510  0.526  0.514  0.493  0.305

global_s %>% glimpse()

##  num [1:1800] -0.384 -0.457 -0.673 -0.344 -0.311 -0.071 -0.246 -0.235 -0.38 -0.418 ...

plot(global_s)

global.ts <- ts(global_s, start = c(1856, 1), freq = 12)
plot(global.ts, main = "")

15.9 회귀직선 추가

new.time <- time(global.ts) # t+(i-1)/freq
plot(global.ts, main = "")
abline(lm(global.ts~new.time), col = "red")

16 Practice

17 ARIMA

17.1 추세 확인

비정상 시계열, 차분 필요

library(forecast)
female <- scan('data/timeseries/female.txt')
female.ts <- ts(female)
plot(female.ts)

ggtsdisplay(female.ts)

17.2 일반 차분

white noise 만족
p = 0, q = 0

ndiffs(female)

## [1] 1

female_d <- diff(female.ts)
ggtsdisplay(female_d)

17.3 Model fitting

fit <- Arima(female, order = c(0, 1, 0), include.drift = T)
checkresiduals(fit)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,0) with drift
## Q* = 7.1676, df = 9, p-value = 0.6197
## 
## Model df: 1.   Total lags used: 10

17.3.1 과대적합

confint(Arima(female, order = c(1, 1, 0), include.drift = T)) # 추가된 모수 비유의

##             2.5 %    97.5 %
## ar1   -0.09026514 0.2851598
## drift  1.85683163 6.5762383

confint(Arima(female, order = c(0, 1, 1), include.drift = T)) # 추가된 모수 비유의

##             2.5 %    97.5 %
## ma1   -0.08681113 0.3124909
## drift  1.84910777 6.5857555

# ARIMA(0, 1, 0) 확정

17.4 Auto.arima

auto.arima(female, stepwise = F)

## Series: female 
## ARIMA(0,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##       drift
##       4.215
## s.e.  1.093
## 
## sigma^2 estimated as 129:  log likelihood=-411.34
## AIC=826.68   AICc=826.8   BIC=832.03

auto.arima(female, ic = 'bic', stepwise = F)

## Series: female 
## ARIMA(0,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##       drift
##       4.215
## s.e.  1.093
## 
## sigma^2 estimated as 129:  log likelihood=-411.34
## AIC=826.68   AICc=826.8   BIC=832.03

17.5 예측

fit <- Arima(female, order = c(0, 1, 0), include.drift = T)
plot(forecast(fit))

summary(forecast(fit))

## 
## Forecast method: ARIMA(0,1,0) with drift
## 
## Model Information:
## Series: female 
## ARIMA(0,1,0) with drift 
## 
## Coefficients:
##       drift
##       4.215
## s.e.  1.093
## 
## sigma^2 estimated as 129:  log likelihood=-411.34
## AIC=826.68   AICc=826.8   BIC=832.03
## 
## Error measures:
##                       ME     RMSE      MAE        MPE     MAPE      MASE
## Training set 0.001960972 11.25385 8.279046 -0.1344574 2.231458 0.9030153
##                    ACF1
## Training set 0.09833436
## 
## Forecasts:
##     Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
## 109       671.2150 656.6571 685.7728 648.9507 693.4792
## 110       675.4299 654.8421 696.0178 643.9435 706.9163
## 111       679.6449 654.4300 704.8597 641.0820 718.2077
## 112       683.8598 654.7442 712.9754 639.3313 728.3883
## 113       688.0748 655.5225 720.6270 638.2904 737.8591
## 114       692.2897 656.6305 727.9489 637.7537 746.8258
## 115       696.5047 657.9883 735.0210 637.5990 755.4103
## 116       700.7196 659.5439 741.8953 637.7468 763.6924
## 117       704.9346 661.2611 748.6080 638.1418 771.7273
## 118       709.1495 663.1137 755.1854 638.7438 779.5553

18 SARIMA

18.1 Load data

우리나라에 입국한 관광객 수
train : 1981.1 ~ 1991.12
test : 1992.1 ~ 1992.12

tour <- scan('data/timeseries/tourist.txt')
tour.ts <- ts(tour, start = 1981, frequency = 12)

18.2 time series plot

정상성 확인 2가지

등분산 확인
추세 확인

18.3 등분산 확인

분산 증가, 로그 변환 필요

plot(tour.ts)

분산 안정화 변환

lntour <- log(tour.ts)
plot(lntour)

18.4 추세 확인

일반 차분, 계절 차분 필요

Acf(lntour, lag.max = 48)

ndiffs(lntour)

## [1] 1

nsdiffs(lntour)

## [1] 1

ggseasonplot(lntour)

18.5 d = 1일 때 (일반 차분)

추가적으로 계절 차분 필요

tour_1 <- diff(lntour)
ggtsdisplay(tour_1, lag.max = 48)

18.6 D = 1일 때 (계절 차분)

추가적인 일반 차분이 필요해보임

tour_12 <- diff(lntour, lag = 12)
ggtsdisplay(tour_12, lag.max = 48)

ndiffs(tour_12)

## [1] 1

18.7 d = 1, D = 1일 때

d = 1, D = 1로 결정

tour_1_12 <- diff(tour_1, lag = 12)
ggtsdisplay(tour_1_12, lag.max = 48)

18.8 Model fitting

Acf(tour_1_12, lag.max = 48)

Pacf(tour_1_12, lag.max = 48)

계절형 확인

ACF 12차 근처에서만 유의적 : P = 0, Q = 1
PACF 12차 근처에서만 유의적 : P = 1, Q = 0

비계절형 확인

ACF 절단, PACF 감소 : p = 0, q = 1
ACF 감소, PACF 절단 : p = 2, q = 0

최종 후보 모형

\(ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)_{12}\)
\(ARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}\)
\(ARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}\)
\(ARIMA(2, 1, 0)(1, 1, 0)_{12}\)

18.9 \(ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)_{12}\)

fit1 <- Arima(lntour, order = c(0, 1, 1), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))
confint(fit1) # 모든 모수 유의

##           2.5 %     97.5 %
## ma1  -0.7168817 -0.4432093
## sma1 -0.7075792 -0.3973742

checkresiduals(fit1)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12]
## Q* = 26.06, df = 22, p-value = 0.2491
## 
## Model df: 2.   Total lags used: 24

과대 적합 확인

\(ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)_{12}\)

fit1_1 <- Arima(lntour, order = c(1, 1, 1), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))

fit1_2 <- Arima(lntour, order = c(0, 1, 2), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))

confint(fit1_1) # 추가된 모수 유의적

##           2.5 %      97.5 %
## ar1  -0.6141189 -0.07646367
## ma1  -0.6019970 -0.07213300
## sma1 -0.6757900 -0.36348852

confint(fit1_2) # 추가된 모수 유의적

##            2.5 %     97.5 %
## ma1  -0.84863210 -0.5006825
## ma2   0.04584469  0.4197128
## sma1 -0.67412800 -0.3580535

\(ARIMA(1, 1, 1)(0, 1, 1)_{12}\), \(ARIMA(0, 1, 2)(0, 1, 1)_{12}\) 잠정 모형으로 선택

checkresiduals(fit1_1)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(1,1,1)(0,1,1)[12]
## Q* = 19.807, df = 21, p-value = 0.5335
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 24

checkresiduals(fit1_2)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,2)(0,1,1)[12]
## Q* = 17.468, df = 21, p-value = 0.6824
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 24

confint(Arima(lntour, order = c(1, 1, 2), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %      97.5 %
## ar1  -0.7576853  0.48124313
## ma1  -1.1513542  0.05538992
## ma2  -0.2314544  0.55715140
## sma1 -0.6724509 -0.35743032

confint(Arima(lntour, order = c(2, 1, 1), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %      97.5 %
## ar1  -1.4005757  0.05563757
## ar2  -0.6505574  0.21547715
## ma1  -0.7633223  0.73372547
## sma1 -0.6770033 -0.36266535

confint(Arima(lntour, order = c(0, 1, 3), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##            2.5 %     97.5 %
## ma1  -0.88113628 -0.5041239
## ma2   0.03417003  0.5055626
## ma3  -0.24727265  0.1398392
## sma1 -0.67243530 -0.3582209

# fit1_1, fit1_2 예측에 사용 가능

18.10 \(ARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}\)

fit2 <- Arima(lntour, order = c(0, 1, 1), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))

checkresiduals(fit2) # 백색잡음 오차 가정 위반

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,1)(1,1,0)[12]
## Q* = 38.217, df = 22, p-value = 0.01732
## 
## Model df: 2.   Total lags used: 24

과대 적합

\(ARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}\)

fit2_1 <- Arima(lntour, order = c(1, 1, 1), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))
fit2_2 <- Arima(lntour, order = c(0, 1, 2), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))
confint(fit2_1) # 추가된 모수 유의

##           2.5 %     97.5 %
## ar1  -0.6244618 -0.1257088
## ma1  -0.6016499 -0.1026214
## sar1 -0.6862031 -0.3682476

confint(fit2_2) # 추가된 모수 유의

##            2.5 %     97.5 %
## ma1  -0.88940432 -0.5453766
## ma2   0.08103535  0.4425904
## sar1 -0.68381121 -0.3633908

checkresiduals(fit2_1) # 가정 만족

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(1,1,1)(1,1,0)[12]
## Q* = 24.433, df = 21, p-value = 0.2726
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 24

checkresiduals(fit2_2) # 가정 만족

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(0,1,2)(1,1,0)[12]
## Q* = 22.927, df = 21, p-value = 0.3479
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 24

추가 과대 적합

\(ARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}\), \(ARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}\)

confint(Arima(lntour, order = c(1, 1, 2), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %     97.5 %
## ar1  -0.7327746  0.4113774
## ma1  -1.1291821 -0.0140854
## ma2  -0.2036577  0.5600746
## sar1 -0.6839650 -0.3642105

confint(Arima(lntour, order = c(2, 1, 1), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %       97.5 %
## ar1  -1.3501035  0.003178749
## ar2  -0.6346756  0.214711438
## ma1  -0.7557297  0.634389249
## sar1 -0.6863941 -0.367535856

confint(Arima(lntour, order = c(0, 1, 3), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##            2.5 %     97.5 %
## ma1  -0.92461468 -0.5514994
## ma2   0.07239749  0.5423576
## ma3  -0.25181127  0.1276558
## sar1 -0.68456703 -0.3650019

# fit2_1, fit2_2 잠정 후보 모형

\(ARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}\), \(ARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}\) 잠정 모형으로 선택

18.11 \(ARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}\)

fit3 <- Arima(lntour, order = c(2, 1, 0), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))

checkresiduals(fit3)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,1,0)(0,1,1)[12]
## Q* = 18.225, df = 21, p-value = 0.6348
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 24

과대 적합

\(ARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}\) 잠정 모형으로 선택

confint(Arima(lntour, order = c(2, 1, 1), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %      97.5 %
## ar1  -1.4005757  0.05563757
## ar2  -0.6505574  0.21547715
## ma1  -0.7633223  0.73372547
## sma1 -0.6770033 -0.36266535

confint(Arima(lntour, order = c(3, 1, 0), 
              seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %      97.5 %
## ar1  -0.8719017 -0.50296810
## ar2  -0.4487084 -0.00763568
## ar3  -0.1888452  0.18083322
## sma1 -0.6769962 -0.36266169

# fit3 잠정 후보 모형

18.12 \(ARIMA(2, 1, 0)(1, 1, 0)_{12}\)

fit4 <- Arima(lntour, order = c(2, 1, 0), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))

checkresiduals(fit4)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,1,0)(1,1,0)[12]
## Q* = 24.531, df = 21, p-value = 0.268
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 24

18.13 과대 적합

\(ARIMA(2, 1, 0)(1, 1, 0)_{12}\) 잠정 모형으로 선택

confint(Arima(lntour, order = c(2, 1, 1), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %       97.5 %
## ar1  -1.3501035  0.003178749
## ar2  -0.6346756  0.214711438
## ma1  -0.7557297  0.634389249
## sar1 -0.6863941 -0.367535856

confint(Arima(lntour, order = c(3, 1, 0), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %      97.5 %
## ar1  -0.9181728 -0.55167096
## ar2  -0.4827245 -0.03043428
## ar3  -0.2034879  0.16766886
## sar1 -0.6863178 -0.36759502

# fit4 잠정 후보 모형

18.14 잠정 후보 모형 AIC, BIC 비교

최종모형 : \(ARIMA(2, 1, 0)(1, 1, 0)_{12}\)

c(fit1_1$aic, fit1_1$bic)

## [1] -335.1006 -323.9841

c(fit1_2$aic, fit1_2$bic)

## [1] -335.4349 -324.3184

c(fit2_1$aic, fit2_1$bic)

## [1] -337.3768 -326.2603

c(fit2_2$aic, fit2_2$bic)

## [1] -337.7425 -326.6260

c(fit3$aic, fit3$bic)

## [1] -335.8118 -324.6953

c(fit4$aic, fit4$bic)

## [1] -338.0812 -326.9647

# fit4 최종 모형으로 선택

18.15 예측

로그 변환된 자료에 대한 예측

fit4 <- Arima(lntour, order = c(2, 1, 0), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12))
plot(forecast(fit4, h = 12))

원자료에 대한 예측

fit4_1 <- Arima(tour.ts, order = c(2, 1, 0), 
              seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12), lambda = 0)
plot(forecast(fit4_1, h = 12))

실제값과 예측값 비교

tour92 <- scan('data/timeseries/tour92.txt')
tour92 <- ts(tour92, start = 1992, freq = 12)


fore_arima <- forecast(fit4_1, h = 12, level = 95)
plot(fore_arima)
new_t <- seq(1992, by = 1/12, length = 12)
lines(new_t, tour92, col = 'red')

plot(fore_arima, xlim =c(1992,1993), ylim =c(2e+5,4.5e+5))
lines(new_t, tour92, col = "red", lwd = 2)
legend("topleft", c("observed data", "forecast"), lwd = 2, col = c("red" ,"blue"), bty = 'n')

예측 정확성 비교

accuracy(fore_arima, tour92)

##                       ME      RMSE       MAE         MPE     MAPE      MASE
## Training set   -101.7388  9382.833  6691.828  -0.1666852  4.06514 0.3697756
## Test set     -44218.3189 51964.159 44218.319 -16.5746164 16.57462 2.4434060
##                   ACF1 Theil's U
## Training set 0.1129040        NA
## Test set     0.6654927  1.920409

19 회귀모형을 이용한 시계열분석

tour <- scan('data/timeseries/tourist.txt')
tour.ts <- ts(tour, start = 1981, frequency = 12)

tour92 <- scan('data/timeseries/tour92.txt')
tour92 <- ts(tour92, start = 1992, freq = 12)

lntour <- log(tour.ts)

19.1 1차 추세계절 회귀모형

2차 추세모형 or 강한 상관관계

Time <- time(lntour)
Month <- cycle(lntour)
fit1 <- lm(lntour~Time + factor(Month) + 0)
summary(fit1)

## 
## Call:
## lm(formula = lntour ~ Time + factor(Month) + 0)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.16248 -0.06957 -0.01932  0.07319  0.22759 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## Time               0.1195     0.0025   47.78   <2e-16 ***
## factor(Month)1  -225.6597     4.9657  -45.44   <2e-16 ***
## factor(Month)2  -225.6373     4.9659  -45.44   <2e-16 ***
## factor(Month)3  -225.4362     4.9661  -45.40   <2e-16 ***
## factor(Month)4  -225.3477     4.9663  -45.38   <2e-16 ***
## factor(Month)5  -225.3286     4.9665  -45.37   <2e-16 ***
## factor(Month)6  -225.3848     4.9667  -45.38   <2e-16 ***
## factor(Month)7  -225.3999     4.9669  -45.38   <2e-16 ***
## factor(Month)8  -225.3277     4.9671  -45.36   <2e-16 ***
## factor(Month)9  -225.3804     4.9673  -45.37   <2e-16 ***
## factor(Month)10 -225.2771     4.9675  -45.35   <2e-16 ***
## factor(Month)11 -225.4349     4.9677  -45.38   <2e-16 ***
## factor(Month)12 -225.6338     4.9679  -45.42   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.09084 on 119 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9999, Adjusted R-squared:  0.9999 
## F-statistic: 1.741e+05 on 13 and 119 DF,  p-value: < 2.2e-16

checkresiduals(fit1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 16
## 
## data:  Residuals
## LM test = 87.23, df = 16, p-value = 8.074e-12

19.2 2차 추세모형

양의 상관관계 존재

fit2 <- lm(lntour~Time + I(Time^2) + factor(Month) + 0)
checkresiduals(fit2)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 17
## 
## data:  Residuals
## LM test = 69.78, df = 17, p-value = 2.354e-08

19.3 오차모형

AR(3) 식별

Resid <- fit2$residuals
ggtsdisplay(Resid, lag.max = 48)

19.4 오차 모형 적합

fit_r1 <- Arima(Resid, order = c(3, 0, 0), include.mean = FALSE)
confint(fit_r1)

##          2.5 %    97.5 %
## ar1 0.14262044 0.4814755
## ar2 0.09449107 0.4352225
## ar3 0.03698488 0.3775787

checkresiduals(fit_r1)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(3,0,0) with zero mean
## Q* = 6.0871, df = 7, p-value = 0.5296
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 10

confint(Arima(Resid, order = c(3, 0, 1), include.mean = FALSE)) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %    97.5 %
## ar1 -0.55000199 0.7343275
## ar2  0.04907373 0.6498214
## ar3  0.03680223 0.5309914
## ma1 -0.43556251 0.8971931

confint(Arima(Resid, order = c(4, 0, 0), include.mean = FALSE)) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %    97.5 %
## ar1  0.15430624 0.5022553
## ar2  0.10729112 0.4628918
## ar3  0.04984801 0.4040409
## ar4 -0.24959477 0.1091437

19.5 2차 추세계절 + AR(3) 오차 회귀모형

역행렬 계산 안될 경우 1차 추세모형 대신 시도

fit_x <- model.matrix(fit2)
f1 <- Arima(tour.ts, order = c(3, 0, 0), include.mean = FALSE, xreg = fit_x, lambda = 0)

## Error in solve.default(res$hessian * n.used, A): system is computationally singular: reciprocal condition number = 5.58217e-17

19.6 1차 추세 계절 모형의 오차 모형

Resid <- fit1$residuals
ggtsdisplay(Resid, lag.max = 48) # AR(3)

19.7 오차 모형 적합

\(AR(3)\) 모형 확정

fit_r2 <- Arima(Resid, order = c(3, 0, 0), include.mean = FALSE)
confint(fit_r2)

##          2.5 %    97.5 %
## ar1 0.17792211 0.5181811
## ar2 0.12261593 0.4656961
## ar3 0.06598099 0.4075507

checkresiduals(fit_r2)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(3,0,0) with zero mean
## Q* = 6.0104, df = 7, p-value = 0.5385
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 10

confint(Arima(Resid, order = c(3, 0, 1), include.mean = FALSE)) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %    97.5 %
## ar1 -0.42304400 0.8008538
## ar2  0.04529015 0.6846541
## ar3  0.03132570 0.5676929
## ma1 -0.46971226 0.8080546

confint(Arima(Resid, order = c(4, 0, 0), include.mean = FALSE)) # 추가된 모수 비유의

##           2.5 %    97.5 %
## ar1  0.18467678 0.5365285
## ar2  0.12910312 0.4899985
## ar3  0.07264062 0.4313678
## ar4 -0.23078402 0.1314767

19.8 1차 추세계절 + AR(3) 오차 회귀모형

fit_x <- model.matrix(fit1)
f1 <- Arima(tour.ts, order = c(3, 0, 0), include.mean = FALSE, xreg = fit_x, lambda = 0)

19.9 예측

new.t <- time(ts(start = c(1992, 1), end = c(1992, 12), freq = 12))
new.x <- cbind(new.t, diag(rep(1, 12)))

fore_reg <- forecast(f1, xreg = new.x, level = 95)

## Warning in forecast.forecast_ARIMA(f1, xreg = new.x, level = 95): xreg contains
## different column names from the xreg used in training. Please check that the
## regressors are in the same order.

plot(fore_reg)

19.10 예측 성능 비교

fit4_1 <- Arima(tour.ts, order = c(2, 1, 0), seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 12), 
                lambda = 0)
fore_arima <- forecast(fit4_1, h = 12, level = 95)

accuracy(fore_arima, tour92)

##                       ME      RMSE       MAE         MPE     MAPE      MASE
## Training set   -101.7388  9382.833  6691.828  -0.1666852  4.06514 0.3697756
## Test set     -44218.3189 51964.159 44218.319 -16.5746164 16.57462 2.4434060
##                   ACF1 Theil's U
## Training set 0.1129040        NA
## Test set     0.6654927  1.920409

accuracy(fore_reg, tour92)

##                       ME      RMSE       MAE         MPE      MAPE      MASE
## Training set    120.1524  9569.667  6442.998  -0.3146017  4.019269 0.3560258
## Test set     -53052.9409 61306.604 54979.697 -19.5490298 20.273884 3.0380559
##                   ACF1 Theil's U
## Training set 0.1121612        NA
## Test set     0.5282178  2.260151

ADP3

1 Preparations (준비작업)

1.1 Libraries

2 시계열 모형 소개

2.1 시계열 모형 종류

2.2 시계열 기본 가정

2.3 모형 인식 방법

3 AR 모형

3.1 AR(1)일 때

3.2 AR(2)일 때

4 MA 모형

4.1 MA(1)일 때

5 ARMA 모형

5.1 ARMA(1, 1)일 때

6 AR, MA, ARMA 정리

7 ARIMA

7.1 비정상 시계열 특징

7.2 비정상 시계열 정상화 방법

7.3 ARIMA(p, d, q)

7.4 Example

8 모형 적합 절차

8.1 시계열 그림, SACF 작성

8.2 ARIMA 모형 차수 p, q 결정

8.3 절편 포함 여부 결정

8.4 모수 추정

8.5 모형 진단

8.6 예측

9 Arima 실습

9.1 데이터 불러오기

9.2 시계열 그림, SACF 작성

9.3 차분 차수 결정

9.4 차분 결과 확인

9.5 ARIMA(0, 1, 2)

9.6 aic, bic로 후보모형 선택

9.7 ARIMA(2, 1, 1)

9.8 Auto.arima

9.9 ARIMA(0, 1, 3)

9.10 ARIMA(1, 1, 3), ma2 = 0

aic, bic를 비교해서 최종 후보모형 선택

9.11 예측

10 SARIMA

10.1 AR(1)_12 : ARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 0)_12

10.2 MA(1)_12 : ARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1)_12

10.3 ARIMA_12: ARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1)_12

10.4 ARIMA(P, D, Q)_s

10.5 ARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s

11 SARIMA 실습

11.1 시계열 그림으로 정상성 확인

11.2 로그 변환

11.3 Seasonal plot

11.4 차분 차수 확인

11.5 모형 인식

11.6 ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 0)_12

11.7 ARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 0)_12

11.8 auto.arima

11.9 AIC, BIC 비교

11.10 원자료에 대한 예측

12 Time series regression

12.1 회귀분석 개요

12.2 모형 가정 확인

13 Time series regression 실습

13.1 1차 추세 모형 적합

13.2 잔차 분석

13.3 2차 추세모형 적합

13.4 로그 변환 후 2차 추세모형 적합

13.5 오차 모형 식별

13.6 과대 적합

13.7 추세모형 + ar(2) 모형 결합

13.8 예측

14 계절 추세 ARMA 오차 회귀모형

14.1 time series plot

14.2 분산 안정화 변환

14.3 계절 추세 모형 적합

14.4 가정 확인

14.5 오차 모형 식별

14.6 오차 모형 추정

14.7 과대적합

14.8 계절추세모형과 AR(3) 모형 결합

14.9 최종모형 잔차분석

14.10 예측